Türevin Matematiksel Kanıtı!Türevi Anla

Daha önce bir yazımda türevin ne olduğundan bahsetmiştim.O yazıya buradan ulaşabilirsiniz.Türevin ne işe yaradığını ve aslında bir şeyin diğer birşeye göre değiyişimi olduğunu söylemiştim.Bu yazımda bütün bu anlattıklarımı matematiksel olarak anlatmaya çalışacağım böylece türevi hayal etmeniz kolaylaşacak.


Türevi anlatmak için fiziksel nicelikleri seçecem.Böylelikle gerçek hayatta olduğu için hayal etmeniz dahada kolaylaşacak ve zorlanmadan türevin aslında nasıl olduğunu anlayabileceksiniz.Anlatmak için hız kavramını seçiyorum.Burada anlatacaklarımı anlayabilmeniz için fizik dersinden bazı şeyleri biliyor olmanız gerekiyor.Örneğin hızı bulmak için yol/zaman formulunu kullanmamız gerektiğini biliyor olmanız gerekiyor.Hız aslında zamanın değişimine göre yolda olan değişimdir.Şimdi matematiksel düşünebilmek için yol ve zaman niceliklerini birer fonksiyon olarak belirtelim.Anlayabilmeniz için fonksiyonu basit seçelim.


Aşağıda gördüğünüz gibi yolun t^2 ile değiştiğini gösterdik.Bu bizim yol zaman fonksiyonumuz.Matematikte sürekli f(x) kullanıldığı için bu fonksiyonda yol için f(x) ve zaman için x kullandık.Bu fonksiyona göre zaman değiştikçe alınan yol onun karesi ile orantılı değişiyor.

Aşağıda gördüğünüz gibi 0.saniyede f(x) değerimiz 0 olur.Yani 0.saniyede alınan yol sıfırdır.




Şimdide 3 saniyede alacağımız yolu bulalım.3.saniyede almış olduğumuz toplam yol aşağıdaki gibi olacaktır.


Bu verilere göre hızı yani yolun zamana göre değişimini bulabilmek için yol/zaman formülünü kullanırız.Aşağıdaki gibi 0-3 saniye arasındaki yolun değişimini bulabiliriz.


Yukarıdaki formulde biz yolun zamana göre değişimini bulduk.Fakat biz buna türev diyemeyiz çünkü türev anlık değişimdir.Yani bir nicelikte yapılacak en küçük değişimin diğer nicelikteki değişimidir.Burda biz saniyeyi 3 saniye değiştirdik.3 saniye değişimde yoldaki değişimi yani hızı bulduk.Türevi almak isteseydik sürede en küçük değişimi bulmalıydık.Bunu yapmak için zamandaki değişimi en küçük şekilde yazmalıyız.Bu sayıları bir formul haline dönüştürmek için bilinmeyen şeklinde yazmalıyız.Yukarıdaki hesaplamalara göre ilk zamanımız 0.Buna x diğelim.İlk yolda f(x) olur.Örneğin ben zamandaki değişimi 0.01 yapsaydım bu zamandaki değişime göre yoldaki değişimi bulmak için aşağıdaki işlemi yapmalıydım.


Yukarıdaki ifade zamandaki değişim 0.1 olunca olan yoldaki değişimdir.Yukarıdaki ifadeyi daha iyi anlayabilmeniz için tam sayılarla basit bir şekilde düşünün.Örneğin baştaki zamanınız 1 olsun.Zamandaki değişim 2 olduğunda son aldığınız yol 3.saniyede olur.Yani f(3) sizin son toplam aldığınız yol olur.Başta ise saniye 1 olduğu için f(1) zaten başta almış olduğunuz yoldu.Bunların farkını alıp,zamanın farkını böldüğümüzde hızı yani yolun zamana göre değişimini bulmuş olursunuz.Değişim 0 a yaklaştıkça en küçük zaman değişiminde yol değişimini bulabileceğimizi farketmişsinizdir.O yüzden değişimede bir harf verirsem ve o harfi limit kullanarak 0'a götürürsem en küçük değişimde yol değişimini bulmuş olurum.Buda türev tanımına uymaktadır.Değişim değerine h diyelim.Yani yukarıda 0.1 olan değişim yerine h yazarım ve lim h 0 değerine giderken derim.Aşağıdaki işlemleri incelerseniz ne yaptığımı daha iyi anlayabilirsiniz.


Son olarak bu elde ettiğim limit değerini bulalım.Biz bu limit değerini bulduğumuzda zamanın en küçük değişiminde yoldaki değişimi yani bu fonksiyonun türevini bulmuş oluruz.



Yukarıda bulduğumuz değerin limitini aldığımızda en son 2x değerini bulduk.Yani bu fonksiyonun türevi 2x'tir.Şimdide bu x kare fonksiyonun ,okulda öğrendiğiniz gibi, üstü başa al ve üstü bir azalt formulu yöntemiyle yapmayı deneyin.Yine 2x bulacaksınız.Türevin mantığı bundan ibarettir.Biz bu işlemleri yaparak zamanda olan en küçük değişimin yolu nasıl değiştirdiğini bulduk.Yani yolun zamana göre türevini bulduk.

Puan hesapla

İçeriklerimizi takip etmek için abonemiz olun

BİZİMLE İLETİŞİME GEÇİN

Tüm hakları www.bilenkalem.com sitesine aittir.